i elevado a i

Procrastinando un poco me he encontrado con esto:
¡Imposible! ¿Cómo puede ser que un número imaginario elevado a otro imaginario dé como resultado un número real y que para colmo aparezca el número Pi?

Bueno, pues para el que le interese, he aquí una pequeña explicación. Las ecuaciones, símbolos etc. lo he hecho todo con el Word y el Paint, por eso me ha quedado un poco feo. Tengo que hacerme con el Mathematica... :)

Lo primero de todo, vamos a "cambiar la interfaz" a nuestro número:

Y digo cambiar la interfaz porque no hemos hecho nada aún, solo le hemos cambiado el aspecto para poder aplicar las propiedades que nos acabarán conduciendo al todavía increíble resultado.

Ahora vamos a aplicar una de las propiedades del logaritmo:

porque

Esto que hemos hecho ahora no tiene misterio. Y ahora vamos a aplicar la definición del logaritmo para números complejos:
Aquí tuve que mirar cómo se consigue el valor absoluto de un número complejo porque no le encontraba sentido... aquí por si tú también dudas :P

Una vez tenemos esto, lo que queda es pan comido:

Ya ya está.

Si te quedas con ganas, te dejo otra que me ha sorprendido que tiene un resultado 'parecido'. El procedimiento es el mismo, así que todo lo que hay que saber cómo hacerlo está ya puesto aquí:

¡Hasta la próxima!